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效用函數(shù)的基本定義與公理

日期：2023-01-30 15:30:14 來源：互聯(lián)網(wǎng)

人們在生活中每天都會遇到選擇問題.在選擇商品時(shí)扮演消費(fèi)者的角色,在選擇金融產(chǎn)品時(shí)扮演投資者角色.假設(shè)人們面臨著一個(gè)選擇集B,必須要將集合中的元素-一根據(jù)優(yōu)劣程度排列出來.例如,在餐廳選擇菜單時(shí)會有各種花色的蔬菜,假設(shè)商品種數(shù)為n種,消費(fèi)者除了將這n種菜的優(yōu)劣順序排出以外，還需將這n種商品不同份額組合以后的菜譜進(jìn)行序.比如:{1份魚,1份牛肉,0.5份牛肉+0.5份......

上面的選擇集B我們可以看作是一個(gè)Euclid 空間R"的凸的子集.凸集表示對于任意x，y∈B, x+(1-a)y∈B, Va∈[0,1].也就是我們將選擇集中的基本元素進(jìn)行線性組合后也屬于選擇集. Euclid 空間的任意元素x= (x, .. x)∈B表示x是一個(gè)商品數(shù)量的向量,x是第i個(gè)商品的數(shù)量.接下來我們通過公理構(gòu)造生成一個(gè)選擇關(guān)系“≥".對于任意兩個(gè)元素x和y,y= (y，y... y,), x≥y表示x優(yōu)于y或者x與y無差異.

公理1(可比性)對任意一對元素x, y∈B,要么x≥y,要么y≥x.

公理2(自反性)對任意元素x ∈B,x≥x.

公理3(傳遞性)對任意元素x, y, z∈B, z=(z, z, ...z,),如果x≥y, y≥z,則x≥z.

若沒有可比性,則表明至少存在一對元素?zé)o法判定誰最優(yōu).自反性表明同種商品之間是無差異的傳遞性表明選擇是一致的.為了便于理解本章的定理和公理,我們定義-一個(gè)字典序.字典序的比較類似于單詞按照字母順序進(jìn)行排列的排列順序,如果(工，x)∈B且(y, yz)∈B,則(xn, x)≥(y, y2)的充要條件是當(dāng)x>h或x=y時(shí)x2≥y.

首先字典序滿足可比性,如果(x, xz)∈B且(y, yx)∈B,則x>y或n>x或x=y.如果x:>y,則(x, x:)≥(yr，y:).如果y1 > x,則(y, yz)≥(x, x2),如果工= y:,則將x2與yr進(jìn)行比較，即任意- -對元素都可以通過“≥"關(guān)系比較其偏好關(guān)系.

再看自反性.對于任意(x，x:)∈B,x=x, xr≥x:,因此(工，x2)≥(工，x2).最后證明傳遞性.取任意三個(gè)元素滿足(x，x2)(y, yx)≥(z，z),則存在如下四種可能性:

(1)x> y,且y>對;

(2) q> yi, yI =名,且y:≥Zz;

(3)工= y,且xs≥yz,且y> z;

(4)工= y,且x:≥y?,且y = ε,且y:≥zz.

上述四種情況都表明(x, x2)≥(z, z2).

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